Question

把边长为a的等边三角形铁皮如图（1）剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的底面为正三角形的直棱柱形容器(不计接缝)如图（2），设容器的高为x，容积为。

（Ⅰ）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；

（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积。

Answer 1

（Ⅰ）    

（Ⅱ）当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为 

解析:

（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为----2分.

则   .  -------------5分

函数的定义域为.    ----------------6分

（Ⅱ）实际问题归结为求函数在区间上的最大值点.

先求的极值点.

在开区间内，-------------8分

令，即令，解得.

因为在区间内，可能是极值点. 当时，；

当时，.          -----11分

因此是极大值点，且在区间内，是唯一的极值点，所以是的最大值点，并且最大值   

即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为.------14分