Question

11．在数列{a_n}中，已知a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n+1）}$（n≥2，n∈N^*）
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，并归纳猜想出数列{a_n}的通项公式；
（2）利用公式$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n+1）}$，求得a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{3}{4}$，a₄=$\frac{4}{5}$，从而猜想a_n=$\frac{n}{n+1}$；
（2）由a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n+1）}$可得a_n-a_n-1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，从而利用叠加法求得．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴a₂=a₁+$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$，
a₃=a₂+$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{4}$，
a₄=a₃+$\frac{1}{4×5}$=$\frac{4}{5}$，
故猜想a_n=$\frac{n}{n+1}$；
（2）证明：∵a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n+1）}$，a₁=$\frac{1}{2}$；
∴a₂-a₁=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
a₃-a₂=$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…
a_n-a_n-1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
将以上n-1个等式相加得，
a_n-a₁=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴a_n=a₁+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
当n=1时也成立，
故a_n=$\frac{n}{n+1}$成立．

点评 本题考查了数列的应用及叠加法的应用，属于中档题．