分析 (1)由a1=$\frac{1}{2}$,an=an-1+$\frac{1}{n(n+1)}$,求得a2=$\frac{2}{3}$,a3=$\frac{3}{4}$,a4=$\frac{4}{5}$,从而猜想an=$\frac{n}{n+1}$;
(2)由an=an-1+$\frac{1}{n(n+1)}$可得an-an-1=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,从而利用叠加法求得.
解答 解:(1)∵a1=$\frac{1}{2}$,an=an-1+$\frac{1}{n(n+1)}$,
∴a2=a1+$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$,
a3=a2+$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{4}$,
a4=a3+$\frac{1}{4×5}$=$\frac{4}{5}$,
故猜想an=$\frac{n}{n+1}$;
(2)证明:∵an=an-1+$\frac{1}{n(n+1)}$,a1=$\frac{1}{2}$;
∴a2-a1=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$,
a3-a2=$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$,
…
an-an-1=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
将以上n-1个等式相加得,
an-a1=($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$)+…+($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$,
∴an=a1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$;
当n=1时也成立,
故an=$\frac{n}{n+1}$成立.
点评 本题考查了数列的应用及叠加法的应用,属于中档题.
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A. | 20 | B. | 19 | C. | 18 | D. | 16 |
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A. | $-\frac{12}{25}$ | B. | $\frac{7}{5}$ | C. | $\frac{1}{25}$ | D. | $-\frac{7}{25}$ |
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