Question

已知向量

a

=(1，

3

)，

b

=(cosx，sinx)，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最值及相应的x值；
（2）若方程f（x）-m=0在x∈[0，2π]上有两个不同的零点x₁、x₂，试求x₁+x₂的值以及相应m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过向量的数量积，两角和的正弦函数，化简函数的表达式，然后求函数f（x）的最值及相应的x值；
（2）通过x∈[0，2π]求出相位的范围，通过函数的图象求解方程有两个不同的零点x₁、x₂，推出x₁+x₂的值以及相应m的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=cosx+

3

sinx=2sin(x+

π

6

)．…（2分）
最大值为2，相应的x=2kπ+

π

3

，k∈Z；…（4分）
最小值为-2，相应的x=2kπ-

2π

3

，k∈Z．…（6分）
（2）f(x)=2sin(x+

π

6

)，x∈[0，2π]，所以x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]．
在同一坐标系中作出y=2sin(x+

π

6

)，x∈[0，2π]和y=m的图象，
由数形结合法可知：m∈（-2，1）∪（1，2）．…（8分）
当m∈（-2，1）时，x1+x2=

8π

3

；…（10分）
当m∈（1，2）时，x1+x2=

2π

3

．…（12分）

点评：本题考查向量的数量积，两角和的正弦函数的应用，三角函数值域的求法，考查计算能力．