Question

【题目】已知数列{an}中，a2=2，其前n项和Sn满足： （n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意有 ．

所以 ，则有 （n≥2），

所以2（Sn﹣Sn﹣1）=nan﹣（n﹣1）an﹣1，

即（n﹣2）an=（n﹣1）an﹣1（n≥2）．

所以（n﹣1）an+1=nan，

两式相加得2（n﹣1）an=（n﹣1）（an+1+an﹣1），即2an=an+1+an﹣1（n≥2），

即an+1﹣an=an﹣an﹣1（n≥2，n∈N），

故数列{an}是等差数列．

又a1=0，a2=2，所以公差d=2，

所以数列{an}的通项公式为an=2n﹣2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

则 …+n22n﹣2，

两边同乘以22得 +…+（n﹣1）22n﹣2+n22n，

两式相减得 +22n﹣2﹣n22n，

即 = ，

所以

【解析】（I）利用数列递推关系、等差数列的定义及其通项公式即可得出．（II）利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．