Question

【题目】选修4-5：不等式选讲

设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．
（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；
（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣（x﹣1）|=3，故函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|的最小值为3，

此时，﹣2≤x≤1

（2）

解：函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|= ，而函数y=﹣ax+1表示过点（0，1），斜率为﹣a的一条直线，

如图所示：当直线y=﹣ax+1过点A（1，3）时，3=﹣a+1，∴a=﹣2，

当直线y=﹣ax+1过点B（﹣2，3）时，3=2a+1，∴a=1，

故当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，

即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，

数形结合可得要求的a的范围为（﹣2，1）．

【解析】（1）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围．（2）当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合求得a的范围．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．