Question

已知命题p：a＜1且a≠0，命题q：一元二次方程ax²+2x+1=0（a≠0）至少有一个负的实数根，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：①若命题p成立，则有a＜1且a≠0，利用一元二次方程根与系数的关系可得可得，此一元二次方程一定有两个不相等的实数根，且两根之和与两根之积异号，故此至少有
一个负的实数根，故命题q 成立．②若命题q成立，通过举反例可得则命题p不一定成立，由此得出结论．

解答：解：①若命题p成立，则有a＜1且a≠0，
∴一元二次方程ax²+2x+1=0的判别式△=4-4a＞0，故此一元二次方程一定有两个不相等的实数根．
再由两根之和 x₁+x₂=-

2

a

，两根之积 x₁•x₂=

1

a

，可得两根之和与两根之积 异号，
故一元二次方程ax²+2x+1=0（a≠0）至少有一个负的实数根，故命题q 成立．
②若命题q成立，则命题p不一定成立，例如当a=1时，一元二次方程ax²+2x+1=0即 x²+2x+1=0，有一个负根为x=-1，
此时，显然命题p不成立．
故由命题q成立不能推出命题p成立．
综合①②可得p是q的 充分不必要条件，
故选A．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．