Question

【题目】[选修4—4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）设是曲线上的一个动眯，当时，求点到直线的距离的最小值；

（2）若曲线上所有的点都在直线的右下方，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线距离公式构造出距离关于参数的三角函数关系式，利用三角函数值域可求得的最小值；（2）根据点在直线右下方可得：；利用辅助角公式进行整理可得，从而利用三角函数范围得到关于的不等式，从而求得范围.

（1）由，得到

，

直线普通方程为：

设，则点到直线的距离：

当时，

点到直线的距离的最小值为

（2）设曲线上任意点，由于曲线上所有的点都在直线的右下方，

对任意恒成立

，其中，.

从而

由于，解得：

即：