Question

数列{a_n}的通项公式为a_n=（n∈N^*），设f（n）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）…（1-a_n）．
（1）求f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）求f（n）的表达式；
（3）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2f（n）-1，它的前n项和为g（n），求证：当n∈N^*时，g（2ⁿ）-≥1．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用数列{a_n}的通项公式为a_n=（n∈N^*），分别令n=1，2，3，4．即可求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）得：f（n-1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n-1）（n＞1），两式相除得：
即可得出f（n）的表达式；
（3）先利用题中条件得出g（2ⁿ）=1+++…+．再设∅（n）=f（2ⁿ）-，研究它的单调性，即数列{∅（n）}是单调递增数列，从而求得其最小值为∅（1），从而得到∅（n）≥1即得g（2ⁿ）-≥1．
解答：解：（1）f（1）=，f（2）=，f（3）=，f（4）=．
（2）由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
得：f（n-1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n-1）（n＞1），
两式相除得：
=1-a_n=1-=（n＞1）．
∴…=…，
=•=，
∴f（n）=（n＞1），又f（1）=适合此式，
∴f（n）=．
（3）b _n+1=2f（n）-1=，
g（n）=1+++…+，
∴g（2ⁿ）=1+++…+．
设∅（n）=f（2ⁿ）-，
则∅（n）=1+++…+．
∅（n+1）-∅（n）=1+++…+-（1+++…+）
=++…+-．
∵++…+的项数为2ⁿ，
∴++…+＞++…+==，
∴∅（n+1）-∅（n）＞0．即数列{∅（n）}是单调递增数列．
其最小值为∅（1）=g（2）-=1
∴∅（n）≥1即g（2ⁿ）-≥1．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列的函数特性、数列的求和、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．