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四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱SC的中点E在底面内的射影恰好是正方形ABCD的中心O,顶点A在截面SBD内的射影恰好是△SBD的重心G.
(1)求直线SO与底面ABCD所成角的正切值;
(2)设AB=a,求此四棱锥过点C,D,G的截面面积.

解:(1)∵O、E分别是AC、SC的中点
∴SA∥EO则SA⊥面ABCD
∴∠SOA是SO与面ABCD所成角
∴SA,AB,AD两两相互垂直,连接DG并延长交SB于F.
∵SO是△SBD的中线,∴G点在SO上
∵AD⊥面SAB,AG⊥面SDB
∴AD⊥SB,AG⊥SB
则SB⊥面FAD即DF⊥SB
同理可得SO⊥BD,BG⊥SD
∴G是△SBD的垂心∴△SBD是等边三角形
∴SA=AB=AD∴tan∠SOA=
(2)G 是△SBD的重心,F是SB的中点
∵CD∥AB∴CD∥面SAB而过CDG的平面交面SAB与FH
∴CD⊥面SAD则四边形CDHF是直角梯形
梯形的高DH==a
∴S梯形CDHF=
分析:(1)根据中位线可知SA∥EO,则SA⊥面ABCD,从而∠SOA是SO与面ABCD所成角,连接DG并延长交SB于F.根据线面垂直的判定定理可知SB⊥面FAD,则DF⊥SB,同理可得SO⊥BD,BG⊥SD,从而△SBD是等边三角形,求出直线SO与底面ABCD所成角的正切值即可;
(2)根据中位线定理可知CD∥AB,根据线面平行的判定定理可知CD∥面SAB,而过CDG的平面交面SAB与FH,则四边形CDHF是直角梯形,求出DH,即可求出四边形CDHF的面积.
点评:本题主要考查了直线与平面所成角,以及截面图形面积的度量,同时考查论证推理能,计算与空间想象能力,属于中档题.
练习册系列答案
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已知正四棱锥S-ABCD,底面上的四个顶点A、B、C、D在球心为O的半球底面圆周上,顶点S在半球面上,则半球O的体积和正四棱锥S-ABCD的体积之比为
 

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如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的
2
倍,P为侧棱SD上的点.
(Ⅰ)求证:AC⊥SD;
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由.

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下面的一组图形为侧棱SA垂直于底面ABCD的某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面,画出四棱锥S-ABCD的空间图形并研究
(I)求直线SC与平面SAD所成的角的大小;
(Ⅱ)求二面角B-SC-D的大小;
(Ⅲ)求此四棱锥S-ABCD外接球半径与内切球半径之和.

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(2012•黄浦区一模)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,BC⊥AB,侧面SAB为正三角形,AB=BC=4,CD=SD=2.如图所示.
(1)证明:SD⊥平面SAB;
(2)求四棱锥S-ABCD的体积VS-ABCD

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AD=DC=
12
AB=1,M
是SB的中点.
(1)证明:平面SAD⊥平面SCD;
(2)求AC与SB所成的角;
(3)求二面角M-AC-B的大小.

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