Question

四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱SC的中点E在底面内的射影恰好是正方形ABCD的中心O，顶点A在截面SBD内的射影恰好是△SBD的重心G．
（1）求直线SO与底面ABCD所成角的正切值；
（2）设AB=a，求此四棱锥过点C，D，G的截面面积．

Answer 1

解：（1）∵O、E分别是AC、SC的中点
∴SA∥EO则SA⊥面ABCD
∴∠SOA是SO与面ABCD所成角
∴SA，AB，AD两两相互垂直，连接DG并延长交SB于F．
∵SO是△SBD的中线，∴G点在SO上
∵AD⊥面SAB，AG⊥面SDB
∴AD⊥SB，AG⊥SB
则SB⊥面FAD即DF⊥SB
同理可得SO⊥BD，BG⊥SD
∴G是△SBD的垂心∴△SBD是等边三角形
∴SA=AB=AD∴tan∠SOA=
（2）G 是△SBD的重心，F是SB的中点
∵CD∥AB∴CD∥面SAB而过CDG的平面交面SAB与FH
∴CD⊥面SAD则四边形CDHF是直角梯形
梯形的高DH==a
∴S_梯形CDHF=
分析：（1）根据中位线可知SA∥EO，则SA⊥面ABCD，从而∠SOA是SO与面ABCD所成角，连接DG并延长交SB于F．根据线面垂直的判定定理可知SB⊥面FAD，则DF⊥SB，同理可得SO⊥BD，BG⊥SD，从而△SBD是等边三角形，求出直线SO与底面ABCD所成角的正切值即可；
（2）根据中位线定理可知CD∥AB，根据线面平行的判定定理可知CD∥面SAB，而过CDG的平面交面SAB与FH，则四边形CDHF是直角梯形，求出DH，即可求出四边形CDHF的面积．
点评：本题主要考查了直线与平面所成角，以及截面图形面积的度量，同时考查论证推理能，计算与空间想象能力，属于中档题．