【题目】如图,已知是直角梯形,,垂直于平面,,.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求平面与平面所成锐二面角的正切值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
解法1:(1)根据已知利用线面垂直的判定定理可以证明出平面,根据可以得到到平面的距离等于到平面的距离,最后利用线面角的定义求出直线与平面所成角的正弦值;
(2)延长,,设点是它们的交点,连接,则所求二角角延展为二面角.利用线面垂直的判定定理、二面角的定义可以证明出是二面角的平面角,最后利用正切函数的定义求出平面与平面所成锐二面角的正切值.
解法2:如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.
(1)利用空间向量夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值;
(2)利用空间向量夹角公式求出平面与平面所成锐二面角的余弦值,再根据同角的三角函数的关系式求出平面与平面所成锐二面角的正切值.
解法1:(1)因为,,所以平面,于是到平面的距离为.
因为,所以到平面的距离等于到平面的距离等于.
由题设,所以直线与平面所成角的正弦值为.
(2)延长,,设点是它们的交点,连接,则所求二角角延展为二面角.
因为,,所以平面.在平面内过作于点,连接,所以有,因此有平面,所以,于是是二面角的平面角.
由题设,,所以AF=,所以tan∠AFD= .
故平面与平面所成二面角的正切值为.
解法2:(1)如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.
由已知得,,,,,.
平面的一个法向量为.因为,
因此直线与平面所成角的正弦值为.
(2)设平面的法向量为,.由,得,
可取.取平面的法向量为.
所以.所以,
由图知平面与平面所成二面角锐二面角,所以正切值为.
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【题目】已知函数(,)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为.
(1)当时,求的单调递减区间;
(2)将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度,再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数的图象.当时,求函数的值域.
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【题目】在平面真角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立根坐标系.曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若曲线与曲线交于M,N两点,直线OM和ON的斜率分别为和,求的值.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点,若点在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭点”.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线与椭圆C相交于A,B两点,且A,B两点的“椭点”分别为P,Q,以PQ为直径的圆经过坐标原点,试判断的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.
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【题目】已知椭圆:的左、右顶点分别为,,圆上有一动点,在轴上方,点,直线交椭圆于点,连接,.
(1)若,求的面积;
(2)设直线,的斜率存在且分别为,,若,求的取值范围.
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【题目】已知椭圆过点,是该椭圆的左、右焦点,是上顶点,且是等腰直角三角形.
(1)求的方程;
(2)已知是坐标原点,直线与椭圆相交于两点,点在上且满足四边形是一个平行四边形,求的最大值.
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【题目】设是椭圆上的点,是焦点,离心率.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设是椭圆上的两点,且,问线段的垂直平分线是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标,若不过定点,说明理由.
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【题目】如图是函数的部分图象,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象,给出下列四个命题:
①函数f(x)的表达式为;
②g(x)的一条对称轴的方程可以为;
③对于实数m,恒有;
④f(x)+g(x)的最大值为2.其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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