Question

设数列{a_n}的前n项和记为S_n且Sn=2n2+4n设数列{b_n}的前n项和为Tn且bn=

2

an(2n-1)

（1）求a_n；
（2）求T_n；
（3）设函数f（x）=-x²+4x，是否存在实数λ使得当x≤λ时，f(x)≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的前n项和Sn=2n2+4n，利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出a_n．
（2）由a_n=4n+2，数列{b_n}的前n项和为Tn且bn=

2

an(2n-1)

，知b_n=

2

(4n+2)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂项求和法能求出T_n．
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f(x)≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立，即-x²+4x≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立，由

an

n+1

=

4n+2

n+1

=4-

2

n+1

是递增数列，能推导出存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项和Sn=2n2+4n，
∴a₁=S₁=2+4=6，
a_n=S_n-S_n-1=（2n²+4n）-[2（n-1）²+4（n-1）]
=4n+2．
当n=1时，4n+2=6=a₁，
∴a_n=4n+2．
（2）∵a_n=4n+2，数列{b_n}的前n项和为Tn且bn=

2

an(2n-1)

，
∴b_n=

2

(4n+2)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f(x)≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立，
即-x²+4x≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立，
∵a_n=4n+2，
∴

an

n+1

=

4n+2

n+1

=4-

2

n+1

是递增数列，
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列不等式的应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法和等价转化思想的合理运用．