Question

【题目】某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．

(1)试求的函数关系式；

(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，见解析.

【解析】

(1)根据所给的函数图像先求出当t∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点，代入函数求出t∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.

(2)对分段函数，分别解不等式，求出的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断.

解：（1）当t∈(0,14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，

将点(14,81)代入得c＝－，

∴当t∈(0,14]时，p＝f(t)＝－ (t－12)2＋82；

当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝.

所以p＝f(t)＝

(2)当t∈(0,14]时，－ (t－12)2＋82≥80，

解得:，

所以；

当t∈(14,40]时，log (t－5)＋83≥80，

解得5<t≤32，所以t∈(14,32]，

综上时学生听课效果最佳.

此时

所以，教师能够合理安排时间讲完题目.