Question

2．设f（x）=（x+a）lnx-ax+1
（1）a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）若a≥1，对任意的x∈[$\frac{1}{2}$，1]，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=0时，f（x）=xlnx+1，求导确定函数的单调区间；
（2）求导f′（x）=lnx+1+$\frac{a}{x}$-a，f″（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，从而确定函数的单调性，从而解得．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=xlnx+1，
其定义域为（0，+∞）；且f′（x）=lnx+1，
故x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0，x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调增区间是（$\frac{1}{e}$，+∞），单调减区间是（0，$\frac{1}{e}$）；
（2）f′（x）=lnx+1+$\frac{a}{x}$-a，f″（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
∵a≥1，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f″（x）≤0，
∴f′（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递减，
则f′（x）≥f′（1）=1＞0，
故f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，
故f（x）的最大值为f（1）=1-a．

点评 本题主要考查了导数的基本公式，利用导数求最值，导数与不等式的综合应用，考查了抽象概括能力，运算求解能力，推理论证能力，考查了函数与方程思想，数形结合的思想．