Question

三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象如图所示，直线BD∥AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A．
（1）若函数f（x）为奇函数且过点（1，-3），当x＜0时求

f(x)+8x

x2

的最大值；
（2）若函数在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调递减区间；
（3）设点A、B、C、D的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D求证    （x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

Answer 1

分析：（1）直接由函数f（x）为奇函数且过点（1，-3），得到a=c=0，b=-4，代入

f(x)+8x

x2

并整理，再结合基本不等式即可求出其最大值；
（2）先求出其导函数，根据函数在x=1处取得极值-2，得到

3+2a+b=0 a+b+c=-3

⇒

a=c b=-2c-3

；在代入其导函数，通过比较导数等于0的两个根的大小求出函数的单调递减区间；
（3）先设直线BD的方程为y=f′（x_B）（x-x_B）+f（x_B），结合D点在直线上又在曲线上，得到x_D+2x_B+a=0；同理得到x_A+2x_C+a=0；进而求出（x_A-x_B）+（x_C-x_D）=（x_B-x_C），最后结合直线BD∥AC得到xB+xC=-

2a

3

，结合上面所找的结论即可证得（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

解答：解：（1）由已知得a=c=0，b=-4，
当x＜0时

f(x)+8x

x2

=x+

4

x

≤-4当且仅当x=-2时取得最大值-4（3分）
（2）f′（x）=3x²+2ax+b，依题意有

3+2a+b=0 a+b+c=-3

⇒

a=c b=-2c-3

（5分）
从而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1），
令f′（x）=0有x=1或x=-

2c+3

3

由于f（x）在x=1处取得极值，因此-

2c+3

3

≠1，得到c≠-3
①若-

2c+3

3

＞1，即c＜-3，
则当x∈(1，-

2c+3

3

)时，f′（x）＜0，因此f（x）的单调递减区间为(1，-

2c+3

3

)；       （7分）
②若-

2c+3

3

＜1，即c＞-3，
则当x∈(-

2c+3

3

，1)时，f′（x）＜0，因此f（x）的单调递减区间为(-

2c+3

3

，1)．（8分）
（3）证明：设直线BD的方程为y=f′（x_B）（x-x_B）+f（x_B）因为D点在直线上又在曲线上，
所以f（x_D）=f′（x_B）（x_D-x_B）+f（x_B）
即（x_D³+ax_D²+bx_D+c）-（x_B³+ax_B²+bx_B+c）=（3x_B²+2ax_B+b）（x_D-x_B）
得到：x_D²+x_Dx_B-2x_B²+ax_D-ax_B=0从而x_D+2x_B+a=0，①
同理有x_A+2x_C+a=0    ②，
由于AC平行于BD，因此f′（x_B）=f′（x_C），得到xB+xC=-

2a

3

进一步结合①②化简可以得到xA+xD=xB+xC=-

2a

3

，从而x_A-x_B=x_C-x_D
又由①②得：（x_A-x_B）+（x_C-x_D）=（x_B-x_C），
因此（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1（14分）

点评：考查学生利用导数研究函数极值，研究函数单调性的能力，函数与方程的灵活运用能力．