Question

19．设函数f（x）=（2-a）x+a-2（1+lnx）
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对任意x∈（0，$\frac{1}{2}$），f（x）＞0恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函数解析式，求出函数的导函数，得到f′（1），进一步求得f（1），利用直线方程的点斜式得答案；
（2）由f（x）＞0恒成立，分离参数a，设$h（x）=2+\frac{2lnx}{1-x}$，$x∈（0，\frac{1}{2}）$，求导得其在$（0，\frac{1}{2}）$上的最值得答案．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x+1-2（1+lnx）=x+1-2lnx=x-2lnx-1，
${f^'}（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$．
则点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=-1．
故曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-f（1）=-（x-1），
即y-0=-（x-1），即x+y-1=0．
（2）f（x）=（2-a）x+a-2（1+lnx）的定义域为（0，+∞），
由题意知，（2-a）（x-1）-2lnx＞0在$x∈（0，\frac{1}{2}）$上恒成立，
即（a-2）（1-x）＞2lnx在区间$（0，\frac{1}{2}）$上恒成立．
又1-x＞0，
∴$a＞2+\frac{2lnx}{1-x}$在区间$（0，\frac{1}{2}）$上恒成立．
设$h（x）=2+\frac{2lnx}{1-x}$，$x∈（0，\frac{1}{2}）$，则${h^'}（x）=\frac{{\frac{2}{x}（1-x）+2lnx}}{{{{（1-x）}^2}}}=\frac{{\frac{2}{x}-2+2lnx}}{{{{（1-x）}^2}}}$．
令$m（x）=\frac{2}{x}-2+2lnx$，$x∈（0，\frac{1}{2}）$，则${m^'}（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{-2+2x}{x^2}$．
当$x∈（0，\frac{1}{2}）$时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，
∴$m（x）＞m（\frac{1}{2}）=4-2-2ln2＞0$．
即h′（x）＞0在$（0，\frac{1}{2}）$恒成立．
∴h（x）在$（0，\frac{1}{2}）$单调递增．
∴$h（x）＜h（\frac{1}{2}）=2+\frac{{2ln\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2}}}=2-4ln2$．
故a≥2-4ln2．
∴实数a的最小值为2-4ln2．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，训练了分离参数法，是中档题．