分析 (1)把a=1代入函数解析式,求出函数的导函数,得到f′(1),进一步求得f(1),利用直线方程的点斜式得答案;
(2)由f(x)>0恒成立,分离参数a,设$h(x)=2+\frac{2lnx}{1-x}$,$x∈(0,\frac{1}{2})$,求导得其在$(0,\frac{1}{2})$上的最值得答案.
解答 解:(1)当a=1时,f(x)=x+1-2(1+lnx)=x+1-2lnx=x-2lnx-1,
${f^'}(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$.
则点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=-1.
故曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-f(1)=-(x-1),
即y-0=-(x-1),即x+y-1=0.
(2)f(x)=(2-a)x+a-2(1+lnx)的定义域为(0,+∞),
由题意知,(2-a)(x-1)-2lnx>0在$x∈(0,\frac{1}{2})$上恒成立,
即(a-2)(1-x)>2lnx在区间$(0,\frac{1}{2})$上恒成立.
又1-x>0,
∴$a>2+\frac{2lnx}{1-x}$在区间$(0,\frac{1}{2})$上恒成立.
设$h(x)=2+\frac{2lnx}{1-x}$,$x∈(0,\frac{1}{2})$,则${h^'}(x)=\frac{{\frac{2}{x}(1-x)+2lnx}}{{{{(1-x)}^2}}}=\frac{{\frac{2}{x}-2+2lnx}}{{{{(1-x)}^2}}}$.
令$m(x)=\frac{2}{x}-2+2lnx$,$x∈(0,\frac{1}{2})$,则${m^'}(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{-2+2x}{x^2}$.
当$x∈(0,\frac{1}{2})$时,m′(x)<0,m(x)单调递减,
∴$m(x)>m(\frac{1}{2})=4-2-2ln2>0$.
即h′(x)>0在$(0,\frac{1}{2})$恒成立.
∴h(x)在$(0,\frac{1}{2})$单调递增.
∴$h(x)<h(\frac{1}{2})=2+\frac{{2ln\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2}}}=2-4ln2$.
故a≥2-4ln2.
∴实数a的最小值为2-4ln2.
点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的单调性和最值,训练了分离参数法,是中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 关于直线x=$\frac{π}{4}$对称 | B. | 关于点($\frac{3π}{16}$,0)对称 | ||
C. | 关于直线x=$\frac{3π}{16}$对称 | D. | 关于点($\frac{π}{16}$,0)对称 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 30° | B. | 60° | C. | 120° | D. | 150° |
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