Question

设二次函数满足条件：①；②函数的图像与直线相切．
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）．

试题分析：由的图象的对称轴方程是，于是有，依题意，方程组有且只有一解，利用即可求得与，从而得函数的解析式；（2）利用指数函数的单调性质，知在时恒成立，构造函数，由即可求得答案．
试题解析：（1）由①可知，二次函数图像对称轴方程是，；
又因为函数的图像与直线相切，所以方程组有且只有一解，即方程有两个相等的实根，，
所以，函数的解析式是．
（2），等价于，
即不等式在时恒成立，
问题等价于一次函数在时恒成立，
即，
解得：或，
故所求实数的取值范围是．