Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列命题：
①（

AA1

+

AD

+

AB

）²=3

AB

2；
②

A1C

•(

A1B1

-

A1A

)=0；
③

AD1

与

A1B

的夹角为60°；
④正方体的体积为|

AB

•

AA1

•

AD

|．
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间向量及应用

分析：首先，结合图形，以点D为坐标原点，以向量

DA

，

DC

，

DD1

所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），然后，结合空间向量的坐标运算，对四个命题进行逐个检验即可．

解答： 解：如图所示：

以点D为坐标原点，以向量

DA

，

DC

，

DD1

所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），
对于①：

AA1

+

AD

=

AD1

，
∴

AD1

=(-1，0，1)，

AB

=(0，1，0)，
∴

AD1

+

AB

=(-1，1，1)，
∴|

AD1

+

AB

|=

3

，|

AB

|=1，
∴①正确；
对于②：

A1C

=(-1，1，1) 

A1B1

=(0，1，0)，

A1A

=(0，0，-1)，
∴

A1C

•(

A1B1

-

A1A

)=2．
∴②错误；
对于③：

AD1

=(-1，0，0)，

A1B

=(0，1，-1)，
∴

AD1

•

A1B

=0，
∴③正确；
对于④：
∵

AB

•

AA1

=0，
∴④错误，
综上，正确的命题为：①③，
故答案为：①③．

点评：本题重点考查了空间直角坐标系、空间向量的坐标表示和运算，属于中档题．