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如图,△ABC为一个等腰三角形的空地,底边AB长为4(百米),腰长为3(百米),现决定在空地上修一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形周长相等,面积分别为S1和S2
(1)若小路一端E为AC中点,求小路的长度;
(2)求的最小值.

【答案】分析:(1)小路一端E为AC中点,则F在BC,利用四边形和三角形周长相等.求出CF,然后求出cosC,利用余弦定理求小路EF的长度;
(2)若E、F在两腰上,设CE=x,CF=y,表示出的表达式,通过基本不等式求出最小值.
若点E、F在一腰和底上,设E在CA上,F在AB上,设AE=x,AF=y,表示出的表达式,通过基本不等式求出最小值.
解答:解:(1)易知F在BC上,则AB+BF+FE+AE=EC+EF+CF,∵E为AC中点,∴AE=EC,
BF=4-CF,上式化为BF=,即CF=
根据余弦定理,EF2=CF2+CE2-2CF•CEcosC==
∴EF=
(2)若E、F在两腰上,设CE=x,CF=y,
∴x+y=5,

当且仅当时取“=”号
若点E、F在一腰和底上,设E在CA上,F在AB上,设AE=x,AF=y,
∴x+y=5,
当且仅当时取“=”号
所以最小值为
点评:本题是中档题,考查三角形的解法,余弦定理、基本不等式的应用,分类讨论思想的应用,考查计算能力.
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精英家教网如图,△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰CA的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2
(1)若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;
(2)求
S1S2
的最小值.

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(2011•江西模拟)如图,△ABC为一个等腰三角形的空地,底边AB长为4(百米),腰长为3(百米),现决定在空地上修一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形周长相等,面积分别为S1和S2
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(2)求
S1S2
的最小值.

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(1) 若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;

(2) 求的最小值.

 

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如图,△ABC为一个等腰三角形的空地,底边AB长为4(百米),腰长为3(百米),现决定在空地上修一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形周长相等,面积分别为S1和S2
(1)若小路一端E为AC中点,求小路的长度;
(2)求的最小值.

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