Question

6．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
（Ⅰ）求该几何体的体积V；  
（Ⅱ）求该几何体的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三视图知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥，由此能求出该几何体的体积．
（Ⅱ）该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，另外两个侧面也是全等的等腰三角形，由此能求出该几何体的面积．

解答 解：（Ⅰ）由三视图知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥，
∴该几何体的体积V=$\frac{1}{3}×（8×6）×4$=64．
（Ⅱ）该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，且其高为h₁=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{8}{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
另外两个侧面也是全等的等腰三角形，这两个侧面的高为${{h}_{2}}^{\;}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{6}{2}）^{2}}$=5，
∴该几何体的面积S=2（$\frac{1}{2}×6×4\sqrt{2}+\frac{1}{2}×8×5$）+8×6=88+24$\sqrt{2}$．

点评 本题考查几何体的体积和面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．