【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,底面,,,为的中点,为棱的中点.
(I)证明:平面;
(II)已知,求点到平面的距离.
【答案】(I)证明见解析;(II).
【解析】
试题分析:(I)构造的中位线,由中位线平行定理可得,又平面,所以即可证出平面;(II)由(I)知平面,所以点到平面的距离等于点到平面的距离。利用等体积法得,求出的面积,即可得点到平面的距离.
试题解析:(I)证明:如图,连接交于,连接.
,为的中点,且;
四边形为平行四边形. 为的中点. …………………(3分)
又为的中点,.…………………(5分)
又平面,
平面.…………………(6分)
(II)由(I)可知,平面.
点到平面的距离等于点到平面的距离,所以,
取的中点,连接,所以,,………(7分)
又底面,所以底面.
又,,所以,,,,………(10分)
所以,………(11分)
则点到平面的距离………(12分)
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【题目】已知函数(a>0,a≠1,m≠﹣1),是定义在(﹣1,1)上的奇函数.
(I)求f(0)的值和实数m的值;
(II)当m=1时,判断函数f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并给出证明;
(III)若且f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0,求实数b的取值范围.
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【题目】已知奇函数在区间上是增函数,且最大值为10,最小值为4,则在区间上的最大值、最小值分别是( )
A. -4,-10 B. 4,-10
C. 10,4 D. 不确定
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【题目】对于函数,若存在实数,使=成立,则称为的不动点.
⑴当时,求的不动点;
(2)当时,函数在内有两个不同的不动点,求实数的取值范围;
(3)若对于任意实数,函数恒有两个不相同的不动点,求实数的取值范围.
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【题目】心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关,某数学兴趣小组为了验证此结论,从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学(男生30人、女生20人),给每位同学立体几何题、代数题各一道,让各位同学自由选择一道题进行解答,选题情况统计如下表:(单位:人)
立体几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关?
(2)经统计得,选择做立体几何题的学生正答率为,且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍,现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究,求恰好抽到男女生各一人的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】某学校高三年级有学生1 000名,经调查,其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学),另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学),现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学,如果以身高达165 cm作为达标的标准,对抽取的100名学生,得到以下列联表:
身高达标 | 身高不达标 | 总计 | |
经常参加体育锻炼 | 40 | ||
不经常参加体育锻炼 | 15 | ||
总计 | 100 |
(1)完成上表;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K2的观测值精确到0.001)?
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【题目】某地区2008年至2014年中,每年的居民人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年 份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.7 | 3.6 | 3.3 | 4.6 | 5.4 | 5.7 | 6.2 |
对变量t与y进行相关性检验,得知t与y之间具有线性相关关系.
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)预测该地区2017年的居民人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
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