Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|-1，讨论函数奇偶性，请把f（x）表示成为一个奇函数和一个偶函数的和．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：对a讨论，a=0时，当a≠0时，由奇偶性的定义，即可判断；设f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数．f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），运用函数方程的思想，求得g（x），h（x），即可得到结论．

解答： 解：当a=0时，f（x）=x²+|x|-1，
f（-x）=（x）²+|-x|-1=x²+|x|-1=f（x），
则f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（-x）=（-x）²+|-x-a|-1=x²+|x+a|-1≠f（x），
且f（-x）≠-f（x），则f（x）为非奇非偶函数．
综上可得，a=0时，f（x）为偶函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
设f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数．
则f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
则g（x）=

1

2

（f（x）-f（-x））=

1

2

（x²+|x-a|-1-x²-|-x-a|+1）=

1

2

（|x-a|-|x+a|）
h（x）=

1

2

（f（x）+f（-x））=

1

2

（x²+|x-a|-1+x²+|-x-a|-1）=x²-1+

1

2

（|x-a|+|x+a|）．
则有f（x）=

1

2

（|x-a|-|x+a|）+[x²-1+

1

2

（|x-a|+|x+a|）]．
其中

1

2

（|x-a|-|x+a|）为奇函数，x²-1+

1

2

（|x-a|+|x+a|）为偶函数．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查分类讨论的思想方法，考查定义法的运用，考查运算能力，属于中档题．