Question

18．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点$（1，\frac{3}{2}）$，它的一个焦点与抛物线 E：y²=4x的焦点重合．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）斜率为k的直线l过点F（1，0），且与抛物线 E交于A、B两点，设点P（-1，k），△PAB的面积为$4\sqrt{3}$，求k的值；
（3）若直线l过点M（0，m）（m≠0），且与椭圆Γ交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，由题设得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1\\{a^2}={b^2}+1\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）设直线l：y=k（x-1），与椭圆方程联立可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，l与抛物线 E有两个交点，k≠0，△＞0，利用根与系数的关系可得|AB|，P（-1，k）到l的距离$d=\frac{3|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，又${S_{△PAB}}=4\sqrt{3}$，解出即可得出．
（3）由C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），点C关于y轴的对称点为Q（-x₁，y₁），则直线$CD：y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，设x=0得m；直线$QD：y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（x+{x_1}）$，设x=0得n，再利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，由题设得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1\\{a^2}={b^2}+1\end{array}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=4}\\{{b^2}=3}\end{array}}\right.$，
∴椭圆Γ的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）设直线l：y=k（x-1），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
l与抛物线 E有两个交点，k≠0，△=16（k²+1）＞0，
则$|{AB}|=\frac{{\sqrt{4（{k^4}+4{k^2}+4）-4{k^4}}}}{k^2}•\sqrt{1+{k^2}}=\frac{{4（{k^2}+1）}}{k^2}$，
P（-1，k）到l的距离$d=\frac{3|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，又${S_{△PAB}}=4\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}•\frac{{4（{k^2}+1）}}{k^2}•\frac{3|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=4\sqrt{3}$，
∴4k²=3k²+3，故$k=±\sqrt{3}$．  
（3）∵C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），点C关于y轴的对称点为Q（-x₁，y₁），
则直线$CD：y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，设x=0得$m={y_1}-\frac{{{x_1}（{y_2}-{y_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_2}}}{{{x_2}-{x_1}}}$
直线$QD：y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（x+{x_1}）$，设x=0得$n={y_1}+\frac{{{x_1}（{y_2}-{y_1}）}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{x_2}+{x_1}}}$，
∴$mn=\frac{x_2^2y_1^2-x_1^2y_2^2}{x_2^2-x_1^2}$，又$\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1$，$\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1$，
∴$y_1^2=\frac{3}{4}（4-x_1^2）$，$y_2^2=\frac{3}{4}（4-x_2^2）$，
∴$mn=\frac{x_2^2y_1^2-x_1^2y_2^2}{x_2^2-x_1^2}=\frac{{x_2^2•\frac{3}{4}（4-x_1^2）-x_1^2•\frac{3}{4}（4-x_2^2）}}{x_2^2-x_1^2}=3$．

点评 本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、轴对称问题、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．