Question

数列{a_n}中，a_n+1是函数fn(x)=

1

3

x3-

1

2

(an+3)x2+(an+2)x(n∈N*)的极小值点，且a₁=3，a_n＞0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与2ⁿ的大小关系．

Answer 1

分析：（1）利用函数的极值概念得到fn′(an+1)=an+12-(an+3)an+1+an+2=0，从而得到递推关系式（a_n+1-1）（a_n+1-a_n-2）=0即a_n+1=a_n+2，从而可求{a_n}的通项公式；
（2）Sn=n2+2n，当n=1，2，3，4，5时，n²+2n＞2ⁿ，猜想n≥6时，n²+2n＜2ⁿ，然后运用数学归纳法证明．

解答：解：（1）由题意得：fn′(an+1)=an+12-(an+3)an+1+an+2=0．…（1分）
∴（a_n+1-1）（a_n+1-a_n-2）=0，
∴a_n+1=a_n+2，
∵a₁=3，∴a_n=2n+1．…（3分）
（2）Sn=

n(3+2n+1)

2

=n2+2nb，当n=1，2，3，4，5时，n²+2n＞2ⁿ…（1分）
猜想n≥6时，n²+2n＜2ⁿ…（1分）
下用数学归纳法证明
①当n=6，左边=6²+2×6=48＜右边=2⁶=64，成立．
②假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即k²+2k＜2^k，…（1分）
那么2^k+1=2•2^k＞2（k²+2k）=k²+2k+k²+2k＞k²+2k+3+2k=（k+1）²+2（k+1），
即当n=k+1时，不等式也成立，…（2分）
由①、②可得：对于所有的n≥6（n∈N^*）都有n²+2n＜2ⁿ成立．…（1分）

点评：本题考查函数的极值，考查等差数列的判定与通项的求解，考查大小比较，考查数学归纳法的运用，确定数列的通项是关键．