Question

12．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．
（1）当∠PAQ=$\frac{π}{4}$时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；
（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函数的定义可求PB=100tanα，DQ=100tan（$\frac{π}{4}$-α），利用三角形面积公式及三角函数恒等变换的应用化简可求S_{花卉种植面积}=$\frac{5000}{\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2α+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}}$，其中α∈[0，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函数的性质可求最小值．
（2）设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，则可求BP，DQ，利用两角和的正切函数公式可求tan（α+β）=$\frac{20000-100（x+y）}{100（x+y）-xy}$，由题意PB+DQ=PQ，可求：x+y=100+$\frac{xy}{200}$，即可得解tan（α+β）=1，可求α+β=$\frac{π}{4}$，即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵边长为1百米的正方形ABCD中，∠PAB=a，∠PAQ=$\frac{π}{4}$，
∴PB=100tanα，DQ=100tan（$\frac{π}{2}$-α-$\frac{π}{4}$）=100tan（$\frac{π}{4}$-α），
∴S_{花卉种植面积}=S_△ABP+S_△ADQ=$\frac{1}{2}AB•BP+\frac{1}{2}AD•DQ$=$\frac{1}{2}×$100×100tanα+$\frac{1}{2}×100×$100tan（$\frac{π}{4}$-α）
=$\frac{5000}{cosα（sinα+cosα）}$=$\frac{5000}{\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2α+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}}$，其中α∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴当sin（2α+$\frac{π}{4}$）=1时，即θ=$\frac{π}{4}$时，S取得最小值为5000（2-$\sqrt{2}$）．…（8分）
（2）设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，则BP=100-x，DQ=100-y，
在△ABP中，tanα=$\frac{100-x}{100}$，在△ADQ中，tanβ=$\frac{100-y}{100}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{20000-100（x+y）}{100（x+y）-xy}$，
∵PB+DQ=PQ，
∴100-x+100-y=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，整理可得：x+y=100+$\frac{xy}{200}$，
∴tan（α+β）=$\frac{20000-100×（100+\frac{xy}{200}）}{100×（100+\frac{xy}{200}）-xy}$=$\frac{10000-\frac{xy}{2}}{10000-\frac{xy}{2}}$=1，
∴α+β=$\frac{π}{4}$，
∴∠PAQ是定值，且∠PAQ=$\frac{π}{4}$．-----------（12分）

点评 本题主要考查了三角函数的定义，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，两角和的正切函数公式的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．