Question

设函数f（x）=-axⁿ（x-1）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数．曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：f(x)＜

1

ne

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f'（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，故f'（1）=-1，f（1）=0，则f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，由此能求出函数f（x）的最大值．
（Ⅱ）欲证明f（x）＜

1

ne

成立，只需证：f（x）≤

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

，即证ln（

n+1

n

）＞

1

n+1

，对于函数h（t）=lnt-1+

1

t

（t＞0），故h′(t)=

t-1

t2

，由此能够证明f(x)＜

1

ne

．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=-axⁿ（x-1）+b=axⁿ-axⁿ⁺¹，
∴f'（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，
则f'（1）=-1，f（1）=0，
∴a=1，b=0．
则f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，
故f′(x)=-(n+1)xn(x-

n

n+1

)，
令f'（x）=0，得x=

n

n+1

，
当x∈(0，

n

n+1

)，f′(x)＞0，当x∈(

n

n+1

，+∞)，f′(x)＜0，
故函数f（x）在(0，

n

n+1

)上单调递增；在(

n

n+1

，+∞)上单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上最大值为f(

n

n+1

)=(

n

n+1

)n(1-

n

n+1

)=

nn

(n+1)n+1

．
（Ⅱ）证明：欲证明f（x）＜

1

ne

成立，
只需证：f（x）≤

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

，
即证：（

n+1

n

）ⁿ⁺¹＞e，
即ln（

n+1

n

）ⁿ⁺¹＞lne，
即证ln（

n+1

n

）＞

1

n+1

，
对于函数h（t）=lnt-1+

1

t

（t＞0），
∴h′(t)=

t-1

t2

，
当t∈（0，1）时，h′（t）＜0；当t∈（1，+∞）时，h′（t）＞0．
∴h（t）在（0，+∞）上的最小值为h（1）=0，
故h（t）＞0，即h（t）＞1-

1

t

成立．
令t=

n+1

n

，ln（

n+1

n

）＞1-

1

n+1 n

=

1

n+1

成立，
∴f(x)＜

1

ne

．

点评：本题考查函数的最大值的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和应用，合理地运用等价转化思想进行求解．