在△ABC中,已知AB=2,BC=1,,分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F,使得△DEF为正三角形.设∠FEC=a,问sinα取何值时,△DEF的边长最短,并求此最短边长.
如图所示,∵ AB=2,BC=1,,∴ ,∴∠ C=90°,∠A=30°,∠B=60°,∵∠ FEC=α,∴∠ EFC=90°-α,又∵△ DEF等边三角形,∠DFE=60°,∴∠ AFD=180°-60°-(90°-α)=30°+α.∵∠ A=30°,∴∠ ADF=180°-30°-(30°+α)=120°-α.设 CF=x,则.在△ADF中,有∠ A=30°,∠ADF=120°-α,,则由正弦定理,得 .在 Rt△ECF中,x=DF·sinα,∴ ,化简得, ,当 ,即,即 时,最小边长为. |
此题在题目中已比较明确地指明了解题思路,即应寻求△DEF最小边长的函数,并且自变量为α,再求以α为自变量的函数的最小值,这是求最值中的常用方法. |
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