Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．
（Ⅰ）若P是DF的中点，
（ⅰ）求证：BF∥平面ACP；
（ⅱ）求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为

6

3

，求PF的长度．

Answer 1

（Ⅰ）（ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．
因为P是DF中点，O为矩形ABCD对角线的交点，所以OP为三角形BDF中位线，所以BF∥OP，
因为BF?平面ACP，OP?平面ACP，所以BF∥平面ACP．…（4分）
（ⅱ）因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz．
所以B（1，0，0），E(

1

2

，0，1)，P(0，1，

1

2

)，C（1，2，0）．
所以

BE

=(-

1

2

，0，1)，

CP

=(-1，-1，

1

2

)，
所以cos＜

BE

，

CP

＞=

BE • CP

|BE |•| CP |

=

4 5

15

，
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为

4 5

15

．…（9分）

（Ⅱ）因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为

n1

=(1，0，0)．
设P点坐标为（0，2-2t，t），在平面APC中，

AP

=(0，2-2t，t)，

AC

=(1，2，0)，
所以平面APC的法向量为

n2

=(-2，1，

2t-2

t

)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2

(-2)2+1+( 2t-2 t )2

=

6

3

，
解得t=

2

3

，或t=2（舍）．
此时|PF|=

5

3

．…（14分）