Question

双曲线与椭圆有共同的焦点F₁（0，-5），F₂（0，5），点P（3，4）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．

Answer 1

分析：先利用双曲线与椭圆有共同的焦点F₁（0，-5），F₂（0，5），设出对应的双曲线和椭圆方程，再利用点P（3，4）适合双曲线的渐近线和椭圆方程，就可求出双曲线与椭圆的方程．

解答：解：由共同的焦点F₁（0，-5），F₂（0，5），
可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-25

=1，双曲线方程为

y2

b2

-

x2

25-b2

=1，
点P（3，4）在椭圆上，

16

a2

+

9

a2-25

=1，a2=40，
双曲线的过点P（3，4）的渐近线为y=±

25-b2

b

x，有4=

25-b2

b

×3，b²=9
所以椭圆方程为：

y2

40

+

x2

15

=1；双曲线方程为：

y2

16

-

x2

9

=1．

点评：本题考查双曲线与椭圆的标准方程的求法．在求双曲线与椭圆的标准方程时，一定要先分析焦点所在位置，再设方程，避免出错．