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已知函数数学公式.定义函数f(x)与实数m的一种符号运算为m?f(x)=f(x)•[f(x+m)-f(x)].
(1)求使函数值f(x)大于0的x的取值范围;
(2)若数学公式,求g(x)在区间[0,4]上的最大值与最小值;
(3)是否存在一个数列{an},使得其前n项和数学公式.若存在,求出其通项;若不存在,请说明理由.

解:(1)由f(x)>0,得
即2x2-12x-3>0,解得
所以,x的取值范围为 
(2)====
对g(x)求导,得g'(x)=6x2-21x+9=3(x-3)(2x-1).
令g'(x)=0,解得或x=3.
当x变化时,g'(x)、g(x)的变化情况如下表:

x03(3,4)4
g'(x)+0-0+
g(x)3-1

所以,g(x)在区间[0,4]上的最大值为,最小值为
(3)存在.
由(2)得=
当n≥2时,=
当n=1时,
所以,


分析:(1)函数值f(x)大于0的x的取值范围通过解不等式函数>0求出即可.
(2)根据题设中的定义,将g(x)计算化简并整理,应得出g(x)=,再利用导数求出g(x)在区间[0,4]上的最大值与最小值
(3)由(2)得=,转化为利用数列中an与 Sn关系求数列通项.
点评:本题考查了一元二次不等式解法、利用导数研究最大(小)值.以及利用数列中an与 Sn关系求数列通项.考查转化、变形、计算能力.
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