Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知Sn=

n2+3n

2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=

an，n为奇数 2n，n为偶数

，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=s₁=2
n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1
当n=1时，a₁=2适合上式
故a_n=n+1
（2）当n为偶数时，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）
=（2+4+…+n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）
=

(2+n)• n 2

2

+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

n(n+2)

4

+

4(2n-1)

3

当n为奇数时，n-1为偶数
T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）
=（2+4+…+n+1）+（2²+2⁴+…+2^n-1）
=

(3+n)• n+1 2

2

+

4(1-4 n-1 2 )

1-4

=

n2+4n+3

4

+

4(2n-1-1)

3

∴Tn=

n(n+2) 4 + 4(2n-1) 3 ，n为偶数 (n+1)(n+3) 4 + 4(2n-1-1) 3 ，n为奇数