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(本题满分12分)

已知点P(-1,)是椭圆E)上一点,F1F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1x轴.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设AB是椭圆E上两个动点,(0<λ<4,且λ≠2).求证:直线AB的斜率等于椭圆E的离心率;

(3)在(2)的条件下,当△PAB面积取得最大值时,求λ的值.

 

【答案】

解:(1)∵PF1x轴,

F1(-1,0),c=1,F2(1,0),

|PF2|=,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b2=3,

椭圆E的方程为:;…………………3分

⑶设直线AB的方程为y=x+t

联立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0,

△=3(4-t2),

AB|=

P到直线AB的距离为d=,

△  PAB的面积为S=|ABd=,  ………10分

ft)=S2=t4-4t3+16t-16) (-2<t<2),

f’(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2,由f’(t)=0及-2<t<2得t=-1.

t∈(-2,-1)时,f’(t)>0,当t∈(-1,2)时,f’(t)<0,ft)=-1时取得最大值

所以S的最大值为

此时x1+x2=-t=1=-2,=3.……………………………………12分

 

【解析】略

 

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