Question

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；
（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE．
（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，
∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，
∴F是EC中点．
在△AEC中，FG∥AE，
∴AE∥平面BFD．
（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，
∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCF，
∵G是AC中点，
∴F是CE中点，且，
∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥CE．
∴Rt△BCE中，．
∴，
∴