Question

【题目】已知， 为实数，函数，函数．

(1) 当时，令，若恒成立，求实数的取值范围；

(2) 当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立？若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）恒成立，等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值即可得结果；(2) 时， ，对 分两种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性（需要两次求导），利用单调性结合函数图象，排除不合题意的值进而可得

试题解析：(1) 当时， 在 上递增，在 上递减，可得的最大值为，所以可得）.

(2) 当a＝－1时，假设存在实数b满足条件，则G(x)＝lnx≥1在x∈(0，1)∪(1，＋∞)上恒成立．

1) 当x∈(0，1)时，G(x)＝lnx≥1可化为(bx＋1－b)lnx－x＋1≤0，

令H(x)＝(bx＋1－b)lnx－x＋1，x∈(0，1)，

问题转化为：H(x)≤0对任意x∈(0，1)恒成立(*)；

则H(1)＝0，H′(x)＝blnx＋＋b－1，H′(1)＝0.

令Q(x)＝blnx＋＋b－1，则Q′(x)＝.

① b≤时，因为b(x＋1)－1≤ (x＋1)－1<×2－1＝0，

故Q′(x)<0，所以函数y＝Q(x)在x∈(0，1)时单调递减，Q(x)>Q(1)＝0，

即H′(x)>0，从而函数y＝H(x)在x∈(0，1)时单调递增，

故H(x)<H(1)＝0，所以(*)成立，满足题意；

② 当b＞，Q′(x)＝＝，

因为b>，所以－1<1，记I＝∩(0，1)，则当x∈I时，x－>0，

故Q′(x)>0，所以函数y＝Q(x)在x∈I时单调递增，Q(x)<Q(1)＝0，

即H′(x)<0，从而函数y＝H(x)在x∈I时单调递减，所以H(x)>H(1)＝0，此时(*)不成立；

所以当x∈(0，1)，G(x)＝lnx≥1恒成立时，b≤；

2) 当x∈(1，＋∞)时，G(x)＝lnx≥1可化为(bx＋1－b)lnx－x＋1≥0，

令H(x)＝(bx＋1－b)lnx－x＋1，x∈(1，＋∞)，问题转化为：

H(x)≥0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立(**)；则H(1)＝0，H′(x)＝blnx＋＋b－1，H′(1)＝0.

令Q(x)＝blnx＋＋b－1，则Q′(x)＝.

① b≥时，b(x＋1)－1>2b－1≥×2－1＝0，

故 Q′(x)>0，所以函数y＝Q(x)在x∈(1，＋∞)时单调递增，Q(x)>Q(1)＝0，即H′(x)>0，

从而函数y＝H(x)在x∈(1，＋∞)时单调递增，所以H(x)>H(1)＝0，此时(**)成立；

② 当b<时，

ⅰ) 若 b≤0，必有Q′(x)<0，故函数y＝Q(x)在x∈(1，＋∞)上单调递减，

所以Q(x)<Q(1)＝0，即H′(x)<0，

从而函数y＝H(x)在x∈(1，＋∞)时单调递减，所以H(x)<H(1)＝0，此时(**)不成立；

ⅱ) 若0<b<，则－1>1，所以x∈时，Q′(x)＝＝<0，

故函数y＝Q(x)在x∈上单调递减，Q(x)<Q(1)＝0，即H′(x)<0，

所以函数y＝H(x)在x∈时单调递减，所以H(x)<H(1)＝0，此时(**)不成立；

所以当x∈(1，＋∞)，G(x)＝lnx≥1恒成立时，b≥.(15分)

综上所述，当x∈(0，1)∪(1，＋∞)，G(x)＝lnx≥1恒成立时，b＝，从而实数b的取值集合为.