Question

设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程log(cx+

d

x

)x=-1在什么情况下有解，有解时求出它的解．

Answer 1

分析：先将对数式转化为指数式，再根据对数函数的真数大于0，底数大于0且不等于1找到方程有根的等价条件后可解题．

解答：解：原方程有解的充要条件是：

x＞0    (1) cx+ d c ＞0  (2) cx+ d c ≠1  (3) (cx+ d c )-1=x   (4)

由条件（4）知x(cx+

d

x

)=1，所以cx²+d=1再由c≠0，可得x2=

1-d

c

.
又由x(cx+

d

x

)=1及x＞0，知cx+

d

x

＞0，
即条件（2）包含在条件（1）及（4）中
再由条件（3）及x(cx+

d

x

)=1，知x≠1
因此，原条件可简化为以下的等价条件组：

x＞0，(1) x≠1，(5) x2= 1-d c ．(6)

由条件（1）（6）知

1-d

c

＞0.这个不等式仅在以下两种情形下成立：
①c＞0，1-d＞0，即c＞0，d＜1；
②c＜0，1-d＜0，即c＜0，d＞1、
再由条件（1）（5）及（6）可知c≠1-d
从而，当c＞0，d＜1且c≠1-d时，
或者当c＜0，d＞1且c≠1-d时，
原方程有解，它的解是x=

1-d c

点评：本题主要考查对数式与指数式的互化和方程根的判定．属中档题．