Question

【题目】 设函数，其中.

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

（i）证明恰有两个零点

（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.

Answer 1

【答案】（I）在内单调递增.；

（II）（i）见解析；（ii）见解析.

【解析】

（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；

（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；

（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.

（I）解：由已知，的定义域为，

且，

因此当时，，从而，

所以在内单调递增.

（II）证明：（i）由（I）知，，

令，由，可知在内单调递减，

又，且，

故在内有唯一解，

从而在内有唯一解，不妨设为，

则，当时，，

所以在内单调递增；

当时，，

所以在内单调递减，

因此是的唯一极值点.

令，则当时，，故在内单调递减，

从而当时，，所以，

从而，

又因为，所以在内有唯一零点，

又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.

（ii）由题意，，即，

从而，即，

以内当时，，又，故，

两边取对数，得，

于是，整理得，