Question

【题目】设a为实数，函数f（x）=ex﹣x+a，x∈R．
（1）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最值；
（2）求证：当a＞﹣1，且x＞0时， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ex﹣1，令f'（x）=0，则x=0，

x∈（﹣1，0），f'（x）＜0，f（x）为减函数，

x∈（0.2），f'（x）＞0，f（x）为增函数，

所以，f（x）min=f（0）=1+a；

又因为 ，

所以

（2）解：证明：令 ，

由（1）知，g'（x）≥g'（0）=1+a＞0，

所以g（x）在（0，+∞）单调递增，

所以g（x）＞g（0）=0，

所以，当a＞﹣1，且x＞0时，

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；（2）令 ，根据函数的单调性求出g（x）＞g（0），证出结论即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．