Question

某学校要对学生进行身体素质全面测试，对每位学生都要进行9选3考核（即共9项测试，随机选取3项），若全部合格，则颁发合格证；若不合格，则重新参加下期的9选3考核，直至合格为止，若学生小李抽到“引体向上”一项，则第一次参加考试合格的概率为

1

2

，第二次参加考试合格的概率为

2

3

，第三次参加考试合格的概率为

4

5

，若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过．
（1）求小李第一次考试即通过的概率P；
（2）求小李参加考核的次数ξ分布列．

Answer 1

分析：（1）若小李选中的士项中无“引体向上”一次通过的概率为

C 3 8

C 3 9

，若选的三项中含引体向上，一次通过的概率为

C 2 8

C 3 9

×

1

2

，由此能求出小李第一次考试即通过的概率P．
（2）由题设知ξ可取1，2，3，4，分别求出其概率，能够求出ξ的分布列．

解答：解：（1）若小李选中的士项中无“引体向上”一次通过的概率为

C 3 8

C 3 9

，
若选的三项中含引体向上，一次通过的概率为

C 2 8

C 3 9

×

1

2

，
∴小李第一次考试即通过的概率P=

C83

C93

+

C82

C93

×

1

2

=

5

6

．
（2）由题设条件知ξ可取1，2，3，4，
P(ξ=1)=

5

6

，
P(ξ=2)=

1

6

×(

C83

C93

+

C82

C93

×

2

3

)=

4

27

，
P(ξ=3)=

1

6

×

C82

C93

×

1

3

×(

C83

C93

+

C82

C93

×

4

5

)=

7

405

，
P（ξ=4）=

1

6

×

C82

C93

×

1

3

×

C82

C93

×

1

5

=

1

810

∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	5 6	4 27	7 405	1 810

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．