Question

【题目】【2017北京西城区5月模拟】已知函数，其中.

（Ⅰ）求函数的零点个数；

（Ⅱ）证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）由，

得

令，得，或.

所以当时，函数有且只有一个零点：；当时，函数有两个相异的零点：，.

（Ⅱ）①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，

所以，函数无极值.

②当时，，的变化情况如下表：

所以，时，的极小值为.

又时，，

所以，当时，恒成立.

所以，为的最小值.

故是函数存在最小值的充分条件.

③当时，，的变化情况如下表：

因为当时，，

又，

所以，当时，函数也存在最小值.

所以，不是函数存在最小值的必要条件.

综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件.

点睛;本题注意考查了导数与函数的极值、最值的关系，属于中档题.涉及的考点有：用导数研究函数的极值、最值，充分不必要条件的判断，根的存在及个数判断.考查了学生分析问题和转化的能力以及分类讨论思想.