Question

设函数f(x)满足2f(x)-f()=4x-+1,数列{a_n}和{b_n}满足下列条件:a₁=1,a_n+1-2a_n=f(n),b_n=a_n+1-a_n(n∈N^*).
(1)求f(x)的解析式.
(2)求{b_n}的通项公式b_n.
(3)试比较2a_n与b_n的大小,并证明你的结论.

Answer 1

(1) f(x)=2x+1   (2) b_n=3·2ⁿ-2   (3)见解析

(1)∵2f(x)-f()=4x-+1,
∴2f()-f(x)=-2x+1.
联立方程组
①×2+②,得3f(x)=6x+3
∴f(x)=2x+1.
(2)由题设a_n+1=2a_n+2n+1　　　　　　　③,
a_n+2=2a_n+1+2n+3 ④,
④-③得a_n+2-a_n+1=2(a_n+1-a_n)+2,
即b_n+1=2b_n+2,∴b_n+1+2=2(b_n+2),
∴{b_n+2}为等比数列.
q=2,b₁=a₂-a₁=4,b_n+2=6·2^n-1,
∴b_n=3·2ⁿ-2.
(3)由(2),知a_n+1-a_n=3×2ⁿ-2,而已知a_n+1-2a_n=2n+1,联立解得a_n=3×2ⁿ-2n-3,
∴2a_n=6×2ⁿ-4n-6,
∴2a_n-b_n=3×2ⁿ-4(n+1).
当n=1时,2a₁-b₁=-2<0,∴2a₁<b₁;
当n=2时,2a₂-b₂=0,∴2a₂=b₂;
当n=3时,2a₃-b₃=8>0,∴2a₃>b₃;
当n=4时,2a₄-b₄=28>0,∴2a₄>b₄.
猜想当n≥3时,2a_n>b_n即3×2ⁿ>4(n+1).
当n=3时,显然成立,
假设当n=k(k≥3)时,命题正确,
即3×2^k>4(k+1).
当n=k+1时,
即3×2^k+1=2×(3×2^k)>8(k+1)=8k+8
=4k+8+4k>4k+8=4(k+2).
不等式也成立,故对一切n≥3且n∈N^*,
2a_n>b_n.
综上所述,当n=1时,2a_n<b_n;
当n=2时,2a_n=b_n;
当n≥3时,2a_n>b_n.