Question

数列{an}(n∈N +)中，a₁=0，a_n+1是函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点，则通项a_n=

(n-1)2，(n=1，2) 3•3n-3，(n≥3)

．

Answer 1

分析：由a₁=0，知3a₁＜1²．由f′_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）=0，求出x₁=3a_n，x₂=n²．由函数的单调性知f_n（x）在x=n²取得极小值．求出a₂=1，a₃=4，a₄=3×4，考查规律，由此猜测：当n≥3时，a_n=4×3^n-3．然后用数学归纳法证明：当n≥3时，3a_n＞n²．

解答：解：∵a₁=0，∴3a₁＜1²．
由题设知f′_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）．
令f′_n（x）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．
若3a_n＜n²，则：
当x＜3a_n时，f′_n（x）＞0，f_n（x）单调递增；
当3a_n＜x＜n²时，f′_n（x）＜0，f_n（x）单调递减；
当x＞n²时，f′_n（x）＞0，f_n（x）单调递增．
故f_n（x）在x=n²取得极小值．
所以a₂=1²=1，
因为3a₂=3＜2²，则，a₃=2²=4
因为3a₃=12＞3³，则a₄=3a₃=3×4，
又因为3a₄=36＞4²，则a₅=3a₄=3²×4，
由此猜测：当n≥3时，a_n=4×3^n-3．
下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3a_n＞n²．
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k（k≥3）时，3a_k＞k²成立，则由（2）知，a_k+1=3a_k＞k²，
从而3a_k+1-（k+1）²＞3k²-（k+1）²=2k（k-2）+2k-1＞0，
所以3a_k+1＞（k+1）²．
故当n≥3时，3a_n＞n²成立．
于是，当n≥3时，a_n+1=3a_n，而a₃=4，因此a_n=4×3^n-3．
综上所述，a₁=0，a₂=1，a_n=4×3^n-3（n≥3），
∴a_n=

(n-1)2，(n=1，2) 3•3n-3，(n≥3)

．
故答案为：

(n-1)2，(n=1，2) 3•3n-3，(n≥3)

．

点评：本题是中档题，考查数列的求法，注意到函数的导数与极小值的关系，注意数列的规律，数学归纳法的应用，考查计算能力，转化思想．