Question

设实数a，b，x，y满足a²+b²=1，x²+y²=3，则ax+by的取值范围为

[-

3

，

3

]

．

Answer 1

分析：先根据条件令a=cosα，b=sinα，x=

3

cosβ，y=

3

sinβ，α、β∈R，然后代入ax+by，利用余弦函数的两角差公式进行化简，最后根据余弦函数的有界性可求出所求．

解答：解：∵a²+b²=1，x²+y²=3
∴设a=cosα，b=sinα，x=

3

cosβ，y=

3

sinβ，α、β∈R
∴ax+by=

3

cosαcosβ+

3

sinαsinβ
=

3

（cosαcosβ+sinαsinβ）
=

3

cos（α-β）
∵-1≤cos（α-β）≤1
∴-

3

≤

3

cos（α-β）≤

3

即ax+by的取值范围为[-

3

，

3

]
故答案为：[-

3

，

3

]

点评：本题主要考查了圆的参数方程，以及余弦函数的两角和与差，同时考查了三角函数的有界性，属于基础题．