Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=2，点M，N分别是边AB，CD上的点，且MN∥BC，.若将矩形ABCD沿MN折起使其形成60°的二面角(如图)．

(1)求证:平面CND⊥平面AMND；

(2)求直线MC与平面AMND所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）转化为证明MN⊥平面CND；（2）过点C作CH⊥ND与点H，则MH是MC在平面AMND内的射影，所以∠CMH即直线MC与平面AMND所成的角.

（1）∵在矩形ABCD中，MN∥BC，

∴MN⊥ND，MN⊥NC，

又∵ND，NC是平面CND内的两条相交直线，

∴MN⊥平面CND，又MN平面AMND，

∴平面CND⊥平面AMND.

（2）由（1）知∠CND＝60°，

又，AB＝3，BC=2，MN∥BC，

所以CN＝1，DN=2，

由余弦定理得 ，

所以∠DCN＝90°，

过点C作CH⊥ND与点H，连接MH，

则∠CMH即直线MC与平面AMND所成的角，

又，

所以

故直线MC与平面AMND所成角的正弦值为.