Question

（1）已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求cos（β-γ）的值．
（2）若sinα+sinβ=

2

2

，求cosα+cosβ的取值范围．

Answer 1

分析：1、分别由已知解出sinα和cosα，利用同角三角函数间的基本关系得到平方和为1，代入利用两角差的余弦函数公式化简可得cos（β-γ）；
2、可设t=cosα+cosβ，对已知和所设的两边平方相加得到（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=t²+

1

2

，化简可得2cos（α-β）=t²-

3

2

，由余弦函数的值域得到关于t的不等式，求出t的解集即可．

解答：解：（1）sinβ+sinγ=-sinα，cosβ+cosγ=-cosα
（sinβ+sinγ）²+（cosβ+cosγ）²=1
2+2cos（β-γ）=1，cos（β-γ）=-

1

2

．

（2）令cosα+cosβ=t，则
（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=t²+

1

2

2+2cos（α-β）=t²+

1

2

，2cos（α-β）=t²-

3

2

因为-2≤t²-

3

2

≤2，得到-

1

2

≤t²≤

7

2

，
所以-

14

2

≤t≤

14

2

点评：此题要求学生灵活运用同角三角函数公式及两角和与差的余弦函数公式进行化简求值．学生会根据第一问的思路解决第二问中的范围是本题的突破点．