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    已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
    .
    e1
    =
    .
    1 
    1 
    .
    ，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15）．
    （Ⅰ）求矩阵M．
    （Ⅱ）求M的另一个特征值和其所对应的一个特征向量．
    分析：（1）先设矩阵M=
    ab
    cd
    ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
    e1
    及矩阵M对应的变换将点（-1，2）换成（9，15）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；
    （2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，从而求得另一个特征值，设矩阵M的另一个特征向量是
    e2
    =
    x 
    y 
    ，解得特征向量
    e2
    的坐标之间的关系．
    解答：解：（1）设M=
    ab
    cd
    ，则
    ab
    cd
     
    1
    1
    =3
    1
    1
    =
    3
    3
    ，故
    a+b=3
    c+d=3.

    ab
    cd
     
    -1
    2
    =
    9
    15
    ，故
    -a+2b=9
    -c+2d=15.

    联立以上两方程组解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，
    故M=
    -14
    -36
    ．
    （2）由（1）知M=
    -14
    -36
    ，则矩阵M的特征多项式为f(λ)=
    .
    λ+1 -4
      3λ-6
    .

    =（λ+1）（λ-6）+12=λ2-5λ+6
    令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为2与3．
    当λ=2时，
    (λ+1)x-4y=0
    3x+(λ-6)y=0
    ，故3x-4y=0
    ∴矩阵M的属于特征值2的一个特征向量为
    4 
    3 
    ．
    点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及矩阵M的特征值及其对应的特征向量． 关键是写出特征多项式，从而求得特征值．
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    已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
    e1
    =
    1
    1
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    π
    6
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    .
    1
    1
    .
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    已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=
    1
    1
    ，并且M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．

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    已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量
    e1
    =[
     
    1
    1
    ]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
    （1）求矩阵M；
    （2）求矩阵M的另一个特征值．

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    选修4-2：矩阵与变换
    已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
    e1
    =
    1
    1
    ，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．

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