Question

8．已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=ax²+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）的极大值为-2，求实数a的值；
（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），从而求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出a的值即可；
（3）即a≥$\frac{lnx-2x}{{x}^{2}-x}$，设g（x）=$\frac{lnx-2x}{{x}^{2}-x}$，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=lnx+x，
f′（x）=1+$\frac{1}{x}$，f（1）=1，f′（1）=2，
故切线方程是：y-1=2（x-1），
即：2x-y-1=0；
（2）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+a=$\frac{ax+1}{x}$，
a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，无极值，
a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜-$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）递增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
故f（x）的极大值是f（-$\frac{1}{a}$）=ln（-$\frac{1}{a}$）-1，
若函数y=f（x）的极大值为-2，
则ln（-$\frac{1}{a}$）-1=-2，解得：a=-e；
（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，
即x∈[1，e]时，ax²-lnx-（a-2）x≥0恒成立．
即a≥$\frac{lnx-2x}{{x}^{2}-x}$，设g（x）=$\frac{lnx-2x}{{x}^{2}-x}$，
则g′（x）=$\frac{2x（x-lnx）+lnx+x-1}{{{（x}^{2}-x）}^{2}}$，
当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在区间（1，+∞）上递增，
∴当x∈[1，e]时，g（x）≤g（e）=$\frac{1-2e}{{e}^{2}-e}$，
∴a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，
∴实数a的取值范围为[$\frac{1-2e}{{e}^{2}-e}$，0）．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．