Question

2．设函数f（x）=（x-2）lnx-ax+1，若存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＜0，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1+ln3}{3}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{1+ln3}{3}$]
• C． （$\frac{1+ln3}{3}$，1）
• D． [$\frac{1+ln3}{3}$，1）

Answer 1

分析 设g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，问题转化为存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=ax-1的下方，求导数判断单调性，数形结合可得g（1）≥h（1）=a-1且h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，h（2）＞g（2），解关于a的不等式组可得．

解答 解：设g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，
由题意知存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=h（x）=ax-1的下方，
∵g′（x）=lnx+1-$\frac{2}{x}$，
∴当x≥2时，g′（x）＞0，当0＜x≤1时，g′（x）＜0，
当x=1时，g（1）=0，当x=1时，h（1）=a-1＜0，即a≤1．
直线y=ax-1恒过定点（0，-1）且斜率为a，
由题意结合图象可知，存在唯一的整数x₀=2，f（x₀）＜0，
故h（2）=2a-1＞g（2）=0，h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，解得$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{1+ln3}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：判断单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．