Question

【题目】数列a1 ， a2 ， …，an是正整数1，2，…，n的任一排列，且同时满足以下两个条件：
①a1=1；②当n≥2时，|ai﹣ai+1|≤2（i=1，2，…，n﹣1）．
记这样的数列个数为f（n）．
（ 1）写出f（2），f（3），f（4）的值；
（ 2）证明f（2018）不能被4整除．

Answer 1

【答案】解：（1）根据题意，①a1=1；②当n≥2时，|ai﹣ai+1|≤2（i=1，2，…，n﹣1）；

则f（2）=1，

f（3）=2，

f（4）=4．

（2）证明：把满足条件①②的数列称为n项的首项最小数列．

对于n个数的首项最小数列，由于a1=1，故a2=2或3．

①若a2=2，则a2﹣1，a3﹣1，…，an﹣1构成n﹣1项的首项最小数列，其个数为f（n﹣1）；

②若a2=3，a3=2，则必有a4=4，故a4﹣3，a5﹣3，…，an﹣3构成n﹣3项的首项最小数列，其个数为f（n﹣3）；

③若a2=3，则a3=4或a3=5．设ak+1是这数列中第一个出现的偶数，则前k项应该是1，3，…，2k﹣1，ak+1是2k或2k﹣2，即ak与ak+1是相邻整数．

由条件②，这数列在ak+1后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在ak+1之后，故ak+1后的各项都小于它．

这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数．

综上，有递推关系：f（n）=f（n﹣1）+f（n﹣3）+1，n≥5．

由此递推关系和（ I）可得，f（2），f（3），…，f（2018）各数被4除的余数依次为：

1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…

它们构成14为周期的数列，又2018=14×144+2，

所以f（2018）被4除的余数与f（2）被4除的余数相同，都是1，

故f（2018）不能被4整除

【解析】（1）利用列举法求函数f（2），f（3），f（4）的值；（2）根据所给条件列出函数f（n）前几个值，进而得到函数值的特点，再根据特点进行证明命题.