Question

【题目】椭圆与双曲线有相同的焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1 ， e2 ， 则3e12+e22的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，双曲线的实轴为2a'，虚轴为2b'，
∵椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，
∴ = ，即 = ，
平方可得： = ，由此得到 = 即 = ，
∴（ ）2=（ ）2 ，
由e1= ，e2= ，
∴e1e2=1，
∵e1、e2都是正数，
∴3e12+e22＞2 =2 ，
当且仅当3e12=e22 ， 即e2= e1 ， e1= ，e2= 时，等号成立，
∴3e12+e22的最小值 ，
所以答案是： ．