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已知动圆与圆相切,且与圆相内切,记圆心的轨迹为曲线;设为曲线上的一个不在轴上的动点,为坐标原点,过点的平行线交曲线两个不同的点.
(1)求曲线的方程;
(2)试探究的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由;
(3)记的面积为,求的最大值.

(1)圆心的轨迹
(2)的比值为一个常数,这个常数为
(3)当时,取最大值

解析试题分析:(1)设圆心的坐标为,半径为 
利用已知条件,判断得到动圆与圆只能内切,
从而由
判断得出圆心的轨迹为以为焦点的椭圆,且
求得圆心的轨迹
(2)设,研究直线,直线与椭圆联立的方程组,应用韦达定理,弦长公式,确定作出结论;
(3)注意到的面积的面积,
利用到直线的距离,将面积表示为
 ,应用“换元”思想,
,得到应用基本不等式得解.
试题解析:(1)设圆心的坐标为,半径为 
由于动圆与圆相切,且与圆相内切,所以动
与圆只能内切
                               2分
圆心的轨迹为以为焦点的椭圆,其中

故圆心的轨迹                                             4分
(2)设,直线,则直线
可得:
                       6分
可得:


                        8分

的比值为一个常数,这个常数为       &nb

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