Question

设a≥0，f（x）=x-1-ln²x+2alnx（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，恒有x＞ln²x-2alnx+1．

Answer 1

分析：（1）先根据求导法求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间及极值即可．
（2）欲证x＞ln²x-2a ln x+1，即证x-1-ln²x+2alnx＞0，也就是要证f（x）＞f（1），根据第一问的单调性即可证得．

解答：解：（Ⅰ）根据求导法则有f′(x)=1-

2lnx

x

+

2a

x

，x＞0，
故F（x）=xf'（x）=x-2lnx+2a，x＞0，
于是F′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

，x＞0，
∴知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，
所以，在x=2处取得极小值F（2）=2-2ln2+2a．
（Ⅱ）证明：由a≥0知，F（x）的极小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．
于是知，对一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf'（x）＞0．
从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）内单调增加．
所以当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln²x+2alnx＞0．
故当x＞1时，恒有x＞ln²x-2alnx+1．

点评：本题主要考查学生综合运用导数知识分析问题、解决问题的能力，本小题主要考查函数的导数，单调性，不等式等基础知识．